POLINÔMIOS PROGRESSIMAIS GRACELI.

 

POLINÔMIOS PROGRESSIMAIS GRACELI.

julho 13, 2021

 POLINÔMIOS PROGRESSIMAIS  GRACELI.

ONDE OS POLINÔMIOS SÃO ACRESCIDOS DE FUNÇÕES PROGRESSIMAIS.

COMO:

P = PW / PY] =

                                                   

                                                    P

P = PW / PY] [PS /K] + [PR/ PQ]   =

ONDE SE TERÁ N = A PROGRESSÃO E FUNÇÃO PROGRESSÃO GRACELI, ONDE SE TERÁ N SE TERÁ P.

N = P.

Polinômios de Legendre

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em matemática, os polinômios de Legendre são as soluções polinomiais da equação diferencial de Legendre:

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$   

para as quais ${\displaystyle P_{n}(x=1)=1}$.

Eles recebem esse nome em homenagem a Adrien-Marie Legendre. Esta equação diferencial ordinária é frequentemente encontrada na física e em outros campos técnicos. Em particular, ele surge na resolução da equação de Laplace (e equações diferenciais parciais) em coordenadas esféricas.

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em x= ± 1 então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá se |x| < 1. Quando n é um inteiro, a solução P_n(x) que é regular em x=1 é também regular em x=-1, e a série para esta solução é finita (i.e. é um polinômio).

Esta solução para n = 0, 1, 2,... (com a normalização P_n(1)=1) forma uma sequência polinomial de polinômios ortogonais chamados polinômios de Legendre. Cada polinômio de Legendre P_n(x) é um polinômio de n-ésimo grau. Isto pode ser expresso utilizando a fórmula de Rodrigues:

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$

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Propriedade de ortogonalidade

Uma importante propriedade dos polinômios de Legendre é a sua ortogonalidade com respeito ao produto interno L² no intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}$

(onde δ_mn denota o delta de Kronecker, igual a 1 se m = n e a 0 caso contrário). De facto, uma derivação alternativa dos polinômios de Legendre podem ser obtidas utilizando processo de Gram-Schmidt nos polinômios {1, x, x², ...} com respeito ao produto interno citado. O motivo dessa propriedade de ortogonalidade é que a equação diferencial de Legendre pode ser vista como um problema de Sturm-Liouville

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P(x)\right]=-\lambda P(x),}$

onde os autovalores λ correspondem a n(n+1).